Loteriile cu extragere de numere și keno sunt jocuri în care rezultatul depinde exclusiv de o extragere la întâmplare. Jucătorul alege câteva numere dintr-un interval fix, organizatorul extrage aleatoriu numere din același interval, iar premiul depinde de câte numere coincid. După completarea biletului nu mai există nicio decizie, iar alegerea numerelor nu schimbă șansa de câștig. Pagina explică mecanismul și calculele pe două formate generice, „6 din 49” și „5 din 40”, folosite aici doar ca exemple matematice, și pe keno, cu 20 de numere extrase din 80.
Cum funcționează o loterie cu numere
Un format de loterie se descrie prin două numere: câte numere se extrag și din câte. La „6 din 49”, jucătorul completează un bilet cu 6 numere diferite dintre 1 și 49, iar la extragere ies 6 numere din aceleași 49. Ordinea în care ies bilele nu contează: contează doar câte dintre numerele de pe bilet se regăsesc printre cele extrase.
Extragerea se face fie mecanic, cu bile amestecate într-o urnă, fie electronic, cu un generator de numere aleatoare. În ambele cazuri, procedura este fixată prin regulamentul jocului, iar scopul ei este ca fiecare număr să aibă aceeași șansă de a fi extras și ca extragerile să nu depindă una de alta.
Premiile sunt împărțite pe categorii, după câte numere au fost nimerite. Unele loterii plătesc sume fixe pentru anumite categorii. Altele împart un fond de premii între câștigătorii fiecărei categorii, astfel încât valoarea unui premiu depinde și de câți jucători au nimerit aceleași numere. Când nimeni nu nimerește categoria cea mai mare, multe regulamente prevăd ca fondul ei să se reporteze la extragerea următoare. Detaliile (categoriile, eventualele numere suplimentare, regulile de report) diferă de la o loterie la alta și sunt stabilite de regulamentul fiecăreia.
Câte combinații există
Un bilet „6 din 49” este o combinație de 6 numere din 49, fără ordine. Numărul tuturor combinațiilor posibile se obține cu formula combinărilor:
C(49, 6) = (49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 13.983.816
Extragerea produce exact una dintre aceste combinații, iar toate au aceeași probabilitate. Un singur bilet nimerește toate cele 6 numere cu probabilitatea 1 din 13.983.816.
Pentru categoriile inferioare se numără combinațiile care au exact m numere comune cu biletul: m numere alese dintre cele 6 extrase și restul dintre cele 43 care nu au fost extrase. Probabilitatea este raportul dintre acest număr și totalul combinațiilor, ceea ce în statistică se numește distribuție hipergeometrică:
P(exact m nimerite) = C(6, m) × C(43, 6 − m) / C(49, 6)
| Numere nimerite | Probabilitate | Cam o dată la |
|---|---|---|
| 6 din 6 | 0,000007% | 1 din 13.983.816 |
| 5 din 6 | 0,0018% | 1 din 54.201 |
| 4 din 6 | 0,0969% | 1 din 1.032 |
| 3 din 6 | 1,77% | 1 din 57 |
| 2 din 6 | 13,24% | 1 din 8 |
Coloana „Cam o dată la” exprimă aceeași probabilitate sub formă de raport: pe un număr foarte mare de bilete, categoria respectivă apare în medie o dată la atâtea bilete. Nu este un calendar. Un bilet nu ajunge „mai aproape” de un premiu pentru că biletele de dinainte nu au câștigat.
Formatul „5 din 40” are mai puține numere în urnă și mai puține pe bilet, deci mult mai puține combinații: 658.008. Un bilet nimerește toate cele 5 numere cu probabilitatea 1 din 658.008.
| Numere nimerite | Probabilitate | Cam o dată la |
|---|---|---|
| 5 din 5 | 0,000152% | 1 din 658.008 |
| 4 din 5 | 0,0266% | 1 din 3.760 |
| 3 din 5 | 0,90% | 1 din 111 |
| 2 din 5 | 9,95% | 1 din 10 |
Comparația dintre cele două formate arată cât de repede crește numărul combinațiilor: câteva numere în plus în urnă sau pe bilet înmulțesc totalul, nu i se adaugă.
Fiecare combinație are aceeași șansă
Combinația 1, 2, 3, 4, 5, 6 pare aproape imposibilă, iar una ca 7, 15, 22, 31, 38, 46 pare „tipică”. Pentru urnă, cele două sunt la fel de probabile: fiecare are șansa 1 din 13.983.816. Impresia vine din faptul că există foarte multe combinații care arată „amestecat” și foarte puține care arată ordonat. Grupul combinațiilor amestecate este probabil tocmai pentru că e numeros, dar fiecare combinație din el, luată separat, nu este mai probabilă decât una ordonată.
Alegerea numerelor influențează un singur lucru, și acela doar la loteriile în care fondul unei categorii se împarte între câștigători: o combinație aleasă de mulți jucători (date calendaristice, modele desenate pe bilet, secvențe) ar duce, dacă iese, la un premiu împărțit în mai multe părți. Șansa de a nimeri rămâne aceeași, iar partea din mize plătită ca premii nu se schimbă.
Același raționament se aplică biletelor „sistem”, care acoperă toate combinațiile de 6 dintre mai multe numere alese. Un astfel de bilet costă cât toate combinațiile pe care le conține: șansa lui crește exact în proporția în care crește suma plătită, iar raportul dintre premiile așteptate și miză rămâne același.
Cât returnează o loterie
Randamentul unei loterii, adică partea din mize care se întoarce la jucători pe termen lung, nu rezultă doar din probabilități, ci din regulament. Organizatorul stabilește ce parte din încasări intră în fondul de premii și cum se împarte fondul pe categorii. Restul acoperă costurile organizării și celelalte destinații prevăzute de regulament sau de lege. Partea destinată premiilor este publicată de organizator, de obicei în regulamentul jocului.
Probabilitățile din tabele arată cât de des apare fiecare categorie de premiu; valoarea medie a unui bilet depinde de cât plătește fiecare categorie. Pe termen lung, ansamblul jucătorilor primește înapoi partea din mize destinată premiilor, iar diferența este avantajul organizatorului, echivalentul avantajului casei de la jocurile de casino. Pentru fiecare jucător în parte, rezultatele sunt extrem de dispersate: foarte mulți pierd miza, foarte puțini câștigă sume mari. Mecanismul general este explicat în Avantajul casei și RTP.
Keno
Keno folosește 80 de numere, din care se extrag 20, cu o urnă sau cu un generator de numere aleatoare. Jucătorul alege câte numere să marcheze pe bilet, de regulă între 1 și 10, în funcție de regulamentul jocului. Tabelul de plăți diferă după câte numere au fost alese: un bilet cu 4 numere are propriile premii pentru 2, 3 sau 4 nimerite, un bilet cu 10 numere are altele.
Fiecare număr ales are o șansă de 25,00% să se afle printre cele extrase. Probabilitatea ca toate numerele alese să fie extrase scade însă foarte repede pe măsură ce biletul are mai multe numere:
| Numere jucate | Toate nimerite | Niciunul nimerit |
|---|---|---|
| 1 | 1 din 4 | 75,00% |
| 2 | 1 din 17 | 56,01% |
| 3 | 1 din 72 | 41,65% |
| 4 | 1 din 326 | 30,83% |
| 5 | 1 din 1.551 | 22,72% |
| 6 | 1 din 7.753 | 16,66% |
| 8 | 1 din 230.115 | 8,83% |
| 10 | 1 din 8.911.711 | 4,58% |
Formula este aceeași ca la loterie. Probabilitatea de a nimeri exact m din k numere alese este:
P(exact m nimerite) = C(k, m) × C(80 − k, 20 − m) / C(80, 20)
Coloana „Niciunul nimerit” arată o particularitate a jocului: pe biletele cu multe numere, a nu nimeri niciunul devine relativ rar, motiv pentru care unele tabele de plăți acordă un premiu și pentru zero nimerite. Regulile de acest fel diferă de la un joc la altul.
Randamentul la keno depinde în întregime de tabelul de plăți, care diferă de la un joc la altul și chiar între biletele cu un număr diferit de numere ale aceluiași joc. Regulamentul publicat de organizator îl precizează. Extragerile de keno au adesea loc la intervale scurte. Ritmul nu schimbă avantajul organizatorului pe fiecare bilet, dar mai multe extrageri pe oră înseamnă mai multe mize expuse aceluiași avantaj și, deci, o pierdere medie mai mare în același interval de timp.
Mitul numerelor „calde” și „reci”
Statisticile extragerilor trecute arată mereu numere ieșite mai des („calde”) și numere ieșite mai rar („reci”). Diferențele sunt normale: într-un număr finit de extrageri, frecvențele nu sunt niciodată perfect egale, la fel cum zece aruncări ale unei monede dau rareori exact jumătate steme și jumătate bani.
Urna nu are memorie. O bilă nu „știe” de câte ori a fost extrasă și nu „datorează” nicio apariție. Dacă extragerile sunt corecte, fiecare număr are la fiecare extragere aceeași șansă, indiferent de istoric. Pe termen lung, frecvențele relative ale numerelor se apropie între ele, dar nu pentru că numerele „reci” recuperează, ci pentru că un număr foarte mare de extrageri noi diluează abaterile vechi. Confuzia are un nume, eroarea jucătorului, iar legătura cu numărul mare de repetări este explicată în Varianța și legea numerelor mari.
Un număr care ar ieși neobișnuit de des pe un număr foarte mare de extrageri ar putea semnala, teoretic, o defecțiune a echipamentului; de aceea extragerile se desfășoară, de regulă, după proceduri de verificare. Istoricul extragerilor nu conține însă nicio informație despre extragerea următoare.