Eroarea jucătorului este convingerea că, într-un joc de noroc, un rezultat devine mai probabil pentru că nu a mai apărut de ceva vreme, sau mai puțin probabil pentru că a apărut de mai multe ori la rând. După o serie de roșu la ruletă, negrul pare „să vină”; un număr care n-a mai ieșit la loterie pare „să fie datorat”. Intuiția este foarte răspândită și foarte puternică, dar la jocurile cu rezultate independente este greșită.
Independența
Două evenimente sunt independente când apariția unuia nu schimbă probabilitatea celuilalt. Roata de ruletă, zarurile și bilele unei loterii repuse în urnă la fiecare extragere nu au memorie: nu „știu” ce s-a întâmplat înainte și nu au niciun mecanism prin care să compenseze trecutul. La fiecare rotire a unei rulete europene, șansa de roșu este 48,65%, indiferent de câte ori a ieșit roșu înainte. Același lucru este valabil pentru negru.
Aparatele de joc moderne funcționează pe același principiu: rezultatul fiecărei rotiri este stabilit de un generator de numere aleatoare, independent de rotirile anterioare. Un aparat care „n-a mai plătit de mult” nu este, din acest motiv, mai aproape de o plată.
Probabilitatea unei serii și probabilitatea rezultatului următor
Eroarea vine adesea din confuzia dintre două întrebări diferite:
- Înainte de prima rotire: care este probabilitatea ca următoarele zece rotiri să dea toate roșu? Răspunsul este 0,0743%, o valoare foarte mică.
- După nouă roșii deja ieșite: care este probabilitatea ca a zecea rotire să dea roșu? Răspunsul este 48,65%, la fel ca la orice altă rotire.
Primele nouă rezultate nu mai sunt incerte, deci nu mai intră în calcul. Rămâne o singură rotire, cu probabilitățile ei obișnuite.
Mai mult, zece roșii la rând nu sunt mai puțin probabile decât orice altă succesiune anume de zece culori. Succesiunea roșu, negru, roșu, negru și așa mai departe, alternând de zece ori, are exact aceeași probabilitate, 0,0743%, pentru că roșul și negrul au aceeași șansă la fiecare rotire. Seria de roșu atrage atenția doar pentru că arată ordonat. Iar într-un casino în care multe mese se rotesc ore în șir, serii lungi apar în mod regulat, tocmai pentru că numărul de rotiri este foarte mare.
Legea numerelor mari nu corectează trecutul
O justificare frecventă a erorii este legea numerelor mari: dacă proporția de roșu trebuie să se apropie în timp de probabilitatea lui, atunci după multe roșii ar trebui să urmeze negre. Legea spune însă altceva. Proporțiile se apropie de probabilități pentru că un număr foarte mare de rezultate noi diluează abaterile vechi, nu pentru că abaterile sunt anulate de rezultate de sens contrar. Diferența absolută dintre numărul de roșii și cel de negre poate chiar să crească, în timp ce proporția se stabilizează. Explicația completă este în Varianța și legea numerelor mari.
Amos Tversky și Daniel Kahneman au descris tendința de a aștepta ca eșantioanele mici să semene deja cu întregul sub numele de „credința în legea numerelor mici” („Belief in the law of small numbers”, Psychological Bulletin, 1971). Eroarea jucătorului este un caz particular al acestei tendințe.
Mâna fierbinte
Convingerea opusă este că o serie va continua: un jucător „are mâna bună”, o masă sau un aparat „merg”, deci norocul ar trebui urmat. La jocurile cu rezultate independente, această convingere este la fel de greșită ca eroarea jucătorului: o serie de câștiguri nu face câștigul următor mai probabil, după cum o serie de pierderi nu îl face „datorat”.
Termenul provine din studiul „mâinii fierbinți” în sport. Thomas Gilovich, Robert Vallone și Amos Tversky au analizat aruncările la coș în baschet și nu au găsit dovezi că reușitele vin în serii mai des decât ar produce întâmplarea („The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences”, Cognitive Psychology, 1985). Joshua Miller și Adam Sanjurjo au arătat ulterior că metoda folosită avea o eroare statistică subtilă și că, după corectarea ei, datele sunt compatibile cu un efect real, dar modest („Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers”, Econometrica, 2018). Dezbaterea privește însă activități în care contează priceperea și starea sportivului. O roată de ruletă sau un generator de numere aleatoare nu are formă, încredere sau oboseală, deci nu are nici „mână fierbinte”.
Numerele „datorate”
La loterie, statisticile arată întotdeauna numere ieșite mai rar, numite adesea „reci”, și numere ieșite mai des, numite „calde”. Diferențele sunt fluctuații normale ale întâmplării. Dacă extragerile sunt corecte, niciun număr nu are la extragerea următoare o șansă mai mare sau mai mică decât celelalte, cum arată pagina Loterii și keno.
Există o excepție reală de la independență: jocurile de cărți în care cărțile ieșite nu se întorc în pachet până la amestecare. Acolo, fiecare carte jucată schimbă compoziția cărților rămase, deci trecutul contează. Dar contează ca informație despre ce a rămas în pachet, nu ca o „datorie” a norocului, și nu anulează avantajul casei în condițiile obișnuite de joc.
Aproape-câștigurile
Un aproape-câștig este un rezultat care pare foarte apropiat de un câștig: două simboluri de jackpot pe linie și al treilea chiar deasupra ei, sau un bilet de loterie cu numere vecine celor extrase. Matematic, un aproape-câștig este o pierdere ca oricare alta. El nu arată că un câștig „se apropie” și nu schimbă șansa rezultatului următor.
Pe aparatele de joc, simbolurile afișate sunt stabilite de rezultatul generatorului de numere aleatoare, iar felul în care simbolurile sunt dispuse pe role determină cât de des apar pe ecran astfel de combinații, fără nicio legătură cu rotirea următoare. Studiile de psihologie au arătat că aproape-câștigurile sunt trăite altfel decât pierderile obișnuite și pot întări dorința de a continua jocul (de exemplu, Luke Clark și colaboratorii, „Gambling near-misses enhance motivation to gamble and recruit win-related brain circuitry”, Neuron, 2009).