Avantajul casei spune ce se întâmplă în medie. Varianța spune cât de departe de această medie pot ajunge rezultatele reale. Cele două idei explică împreună un fapt pe care mulți îl percep ca pe un paradox: un jucător poate încheia o seară pe plus, iar casa câștigă totuși, aproape previzibil, pe termen lung.
Varianța și abaterea standard
Rezultatul unui pariu este o variabilă aleatoare: poate lua mai multe valori, fiecare cu probabilitatea ei. Media acestor valori, ponderată cu probabilitățile, este valoarea așteptată, descrisă în Avantajul casei și RTP. Varianța măsoară cât de împrăștiate sunt valorile în jurul mediei:
varianța = Σ probabilitatea rezultatului × (rezultatul − media)²
Abaterea standard este rădăcina pătrată a varianței. Ea are avantajul că se exprimă în aceeași unitate ca miza și arată, aproximativ, cât se abate de obicei un rezultat de la medie.
Două pariuri de pe aceeași masă de ruletă europeană arată diferența:
- Șansa simplă (de exemplu roșu): se câștigă o unitate sau se pierde o unitate. Abaterea standard pe rotire este de 1,00 unități.
- Pleinul (un singur număr): se câștigă 35 de unități, rar, sau se pierde o unitate, des. Abaterea standard pe rotire este de 5,84 unități.
Ambele pariuri au același avantaj al casei, 2,70%. Pierderea medie este aceeași; diferă doar cât de mult oscilează rezultatele în jurul ei. Pleinul produce serii lungi de pierderi mici întrerupte de câștiguri mari, iar șansa simplă produce oscilații mici și frecvente. Aparatele de joc au, de regulă, varianțe mari: aparatul imaginar de pe pagina Aparate slot are o abatere standard de 4,83 unități pe rotire.
Cum cresc media și abaterile cu numărul de pariuri
Când se adună mai multe pariuri independente de aceeași mărime, cele două mărimi cresc în ritmuri diferite:
- rezultatul mediu crește proporțional cu numărul de pariuri;
- abaterea standard a rezultatului total crește doar proporțional cu rădăcina pătrată a numărului de pariuri.
De aceea, după puține pariuri, oscilațiile sunt mult mai mari decât pierderea medie, iar după foarte multe pariuri pierderea medie ajunge să fie mai mare decât oscilațiile. Tabelul de mai jos arată acest lucru pentru un jucător care mizează câte o unitate pe o șansă simplă la fiecare rotire a unei rulete europene:
| Rotiri | Rezultat mediu | De obicei între | Șansa de a fi pe plus |
|---|---|---|---|
| 10 | −0,27 | −6,59 și +6,05 | 34,42% |
| 100 | −2,70 | −22,70 și +17,29 | 35,53% |
| 1.000 | −27,03 | −90,25 și +36,20 | 18,76% |
| 10.000 | −270,27 | −470,20 și −70,34 | 0,33% |
- „Rezultat mediu” este pierderea așteptată, în unități, după numărul respectiv de rotiri.
- „De obicei între” este intervalul cuprins între două abateri standard sub medie și două peste medie; rezultatul real cade în acest interval în marea majoritate a cazurilor.
- „Șansa de a fi pe plus” este probabilitatea exactă ca jucătorul să fi câștigat mai multe rotiri decât a pierdut. Egalitatea nu se socotește „pe plus”, de aceea valorile pentru un număr mic de rotiri sunt sub o jumătate chiar și fără contribuția zeroului.
După 10 rotiri, intervalul obișnuit cuprinde câștiguri și pierderi de câteva unități, mult mai mari decât pierderea medie, iar șansa de a fi pe plus este 34,42%. După 100 de rotiri este încă 35,53%. După 1.000 de rotiri scade la 18,76%, iar după 10.000 de rotiri ajunge la 0,33%: întregul interval obișnuit se află atunci sub zero.
Legea numerelor mari
Legea numerelor mari, formulată riguros pentru prima dată de Jakob Bernoulli într-o lucrare publicată postum în 1713, spune că media rezultatelor unui număr mare de încercări independente se apropie de valoarea așteptată pe măsură ce numărul încercărilor crește. La ruletă, rezultatul mediu pe rotire se apropie de pierderea de 2,70% din miză.
Legea se referă la medie, adică la proporții, nu la sume absolute. Abaterea rezultatului total, în unități, poate crește; raportată la numărul de pariuri, însă, scade. Legea nu spune nici că rezultatele trecute sunt „compensate”: o serie de pierderi nu este urmată de o serie de câștiguri care să o echilibreze. Abaterile vechi sunt diluate de numărul mare de rezultate noi, nu anulate. Confuzia dintre cele două este eroarea jucătorului.
De ce o sesiune se poate încheia pe plus, iar termenul lung nu
O sesiune de joc este o serie scurtă de pariuri. Pe o serie scurtă, varianța domină: rezultatul depinde mai mult de noroc decât de avantajul casei, iar o parte importantă din sesiuni se încheie pe plus, cum arată primele rânduri ale tabelului.
Termenul lung nu este altceva decât toate sesiunile puse cap la cap. Pe măsură ce pariurile se adună, pierderea medie crește constant, iar oscilațiile cresc mult mai încet. Șansa ca rezultatul total să fie pe plus scade spre zero, fără să ajungă vreodată exact la zero, dar devenind neglijabilă. Câștigurile din sesiunile bune nu schimbă direcția; ele sunt oscilațiile pe care varianța le produce în jurul unei medii negative.
Casa se află de la început în situația termenului lung. Ea primește un număr foarte mare de pariuri de la mulți jucători, astfel încât rezultatul ei total se apropie foarte mult de avantajul calculat. Același joc este, pentru jucător, o succesiune de oscilații mari, iar pentru casă un venit aproape previzibil.
Varianța contează și pentru banii disponibili. La aceeași pierdere medie, un pariu cu varianță mare face mai probabile atât câștigurile mari, cât și pierderea rapidă a întregii sume disponibile. Niciun mod de a alterna mizele nu schimbă media, cum arată articolul Sisteme de pariere.
Vezi și
- Noțiuni de probabilitate
- Varianța, avantajul casei și RTP în glosar