Toate calculele din secțiunea de matematică a site-ului se sprijină pe câteva noțiuni simple de probabilitate. Articolul le prezintă pe rând, fiecare cu un exemplu din jocurile de noroc: rezultatele egal probabile, numărarea combinațiilor, evenimentele complementare, independența și valoarea așteptată.
Rezultate egal probabile
Probabilitatea unui eveniment este un număr între 0 și 1: 0 pentru un eveniment imposibil, 1 pentru unul sigur. Exprimată în procente, este aceeași valoare înmulțită cu 100. Când toate rezultatele posibile ale unui experiment au aceeași șansă, probabilitatea se calculează prin numărare:
probabilitatea = numărul rezultatelor favorabile / numărul tuturor rezultatelor posibile
Un zar corect are 6 fețe, fiecare cu o șansă din 6. O ruletă europeană are 37 de căsuțe, deci un număr anume iese cu probabilitatea 1/37, adică 2,70%.
Condiția „egal probabile” este esențială. La aruncarea a două zaruri există 36 de perechi ordonate egal probabile (6 rezultate pentru primul zar × 6 pentru al doilea), dar cele 11 sume posibile, de la 2 la 12, nu sunt egal probabile. Suma 7 se obține în mai multe feluri decât oricare alta, iar 2 și 12 într-un singur fel fiecare:
| Suma | Combinații din 36 | Probabilitate |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 2,78% |
| 3 | 2 | 5,56% |
| 4 | 3 | 8,33% |
| 5 | 4 | 11,11% |
| 6 | 5 | 13,89% |
| 7 | 6 | 16,67% |
| 8 | 5 | 13,89% |
| 9 | 4 | 11,11% |
| 10 | 3 | 8,33% |
| 11 | 2 | 5,56% |
| 12 | 1 | 2,78% |
O greșeală frecventă este tratarea perechilor (1, 6) și (6, 1) ca pe un singur rezultat. Ele sunt rezultate distincte: primul zar arată 1 și al doilea 6, sau invers. De aceea, suma 7 are probabilitatea 16,67%, cea mai mare dintre toate sumele. Jocul de craps se bazează în întregime pe acest tabel.
Numărarea
Când rezultatele sunt foarte multe, ele nu se înșiră unul câte unul, ci se numără cu două reguli.
Regula produsului. Dacă o alegere se face în a moduri și, pentru fiecare dintre ele, o a doua alegere se face în b moduri, cele două alegeri împreună se pot face în a × b moduri. Cele 36 de rezultate ale celor două zaruri sunt un exemplu.
Combinările. Numărul de moduri în care se pot alege k obiecte din n, fără să conteze ordinea, este:
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
unde n! este produsul 1 × 2 × … × n. Câteva exemple:
- Poker. Un pachet de 52 de cărți dă C(52, 5) = 2.598.960 de mâini diferite de câte cinci cărți. Dintre ele, doar 4 sunt chinte regale, câte una pentru fiecare culoare, deci probabilitatea unei chinte regale este 0,000154%. Toate combinațiile sunt pe pagina Poker.
- Loterie. Un format „6 din 49” are C(49, 6) = 13.983.816 de combinații. Un singur bilet nimerește toate cele 6 numere cu probabilitatea 1 din 13.983.816.
- Texas hold'em. Două cărți din 52 se pot primi în 1.326 de feluri. Numărând perechile (13 valori, fiecare în C(4, 2) feluri, după culorile celor două cărți) și împărțind la total, șansa de a primi o pereche din primele două cărți este 5,88%.
Evenimente complementare
Complementul unui eveniment A este evenimentul „A nu se produce”. Cele două împreună acoperă toate posibilitățile, deci:
probabilitatea ca A să nu se producă = 1 − probabilitatea lui A
La ruleta europeană, un pariu pe o șansă simplă câștigă cu probabilitatea 48,65% și pierde cu probabilitatea 51,35%. Diferența dintre cele două vine din zero, care face ca pariul să piardă. La poker, o mână de cinci cărți fără nicio combinație are probabilitatea 50,12%; complementul ei, o mână care formează cel puțin o pereche sau o combinație mai bună, are restul.
Complementul este deosebit de util pentru întrebările de tipul „cel puțin o dată”. Probabilitatea ca un eveniment cu probabilitatea p să apară cel puțin o dată în n încercări independente este 1 − (1 − p)ⁿ, adică unu minus probabilitatea ca el să nu apară niciodată. Astfel, o serie de zece pierderi la rând la o șansă simplă are probabilitatea 0,13%, dar șansa ca ea să apară cel puțin o dată în 100 de serii este 11,98%. Exemplul este discutat în Sisteme de pariere.
Independența
Două evenimente sunt independente când apariția unuia nu schimbă probabilitatea celuilalt. Pentru evenimente independente, probabilitatea ca ambele să se producă este produsul probabilităților lor:
probabilitatea ca A și B să se producă = probabilitatea lui A × probabilitatea lui B
Rotirile ruletei sunt independente. Probabilitatea a trei pierderi la rând pe o șansă simplă este 13,54%, iar probabilitatea a zece roșii la rând este 0,0743%: aceeași probabilitate, înmulțită cu ea însăși de zece ori.
Cărțile trase dintr-un pachet fără a fi puse la loc nu sunt independente. Prima carte este un as cu probabilitatea 4/52; dacă a fost un as, a doua carte este un as cu probabilitatea 3/51, pentru că în pachet au rămas 3 ași din 51 de cărți. Probabilitatea ca primele două cărți să fie ambele ași este produsul (4/52) × (3/51), adică 0,45% (1 din 221). Aici, a doua probabilitate depinde de rezultatul primei extrageri. Confuzia dintre cele două situații stă la baza erorii jucătorului.
Valoarea așteptată
Valoarea așteptată (media) a unui pariu este suma rezultatelor posibile, fiecare înmulțit cu probabilitatea lui:
valoarea așteptată = Σ probabilitatea rezultatului × rezultatul
Un pariu pe un singur număr la ruleta europeană câștigă 35 de unități cu probabilitatea 1/37 și pierde o unitate cu probabilitatea 36/37. Valoarea așteptată este (1/37) × 35 + (36/37) × (−1), o pierdere medie de 2,70% din miză. Aceasta este avantajul casei, explicat în Avantajul casei și RTP.
Valoarea așteptată este o medie pe termen lung, nu rezultatul cel mai probabil al unui pariu. Un pariu pe un singur număr se termină fie cu un câștig de 35 de unități, fie cu pierderea unei unități; niciodată cu media. Cât de departe de medie ajung rezultatele reale descrie varianța, explicată în Varianța și legea numerelor mari.
Vezi și
- Eroarea jucătorului
- Sisteme de pariere
- Avantajul casei, RTP și varianța în glosar